关于完全 $p$-adic 扩张上 Abel 变量上的规范高度下界

设 $A$ 为定义在数域 $\mathbb{Q}$ 上的一个 Abel 变量，设 $\hat{h}$ 为 $A(\overline{\mathbb{Q}})$ 上对应的 $A$ 上对称充要线束的 N\' ern-Tate 高度。本文证明，完全 $p$-adic 点的 N\' ern-Tate 高度被一个仅取决于 $A$ 的绝对常数下界。换言之，若记 $\mathbb{Q}^{(p)}$ 为 $\mathbb{Q}$ 中 $p$ 完全分裂的最大代数扩张，则 $A(\mathbb{Q}^{(p)})$ 在除有限多个素数外的所有素数上满足 Bogomolov 性质。特别地，若 $A$ 在素数 $p$ 上具有良好约化，则得到 $A(\Q^{(p)})$ 的 Bogomolov 性质。这类结果在良好约化情形下首次获得。更一般地，若 $A/K$ 为 Abel 变量且 $\mathcal{K}/K$ 为按 \cite{AB-SK} 定义的渐进正扩张（包括在非阿尔巴鲁处具有有限局部次数的无限 Galois 扩张），则 $A(\mathcal{K})$ 满足 Bogomolov 性质。