求解 Lyapunov 方程的低秩修正 Galerkin 方法
数值分析
2024-03-06 v2 数值分析
摘要
在求解大规模 Lyapunov 矩阵方程的所有可能投影方法中，Galerkin 方法远比最小残差法受欢迎。这主要源于这两类方法所产生的投影问题性质不同。Galerkin 方法每次迭代需求解一个低维矩阵方程，而最小残差法每次迭代需求解一个矩阵最小二乘问题。这些最小二乘问题的巨大计算代价使得研究者倾向于 Galerkin 方法，尽管最小残差格式具有吸引人的性质。本文引入一个框架，允许通过低秩加性修正对投影矩阵方程问题进行修正的 Galerkin 方法，其双重目标是获得类似于最小残差格式的单调性收敛速率，同时保持与原 Galerkin 方法基本相同的计算代价。我们分析了该框架的适定性，并确定了我们所期望的两种低秩修正变体所达残差范数表现类似于最小残差技术计算的残差范数的可能情形。一系列多样化的数值算例展示了我们新方法的性能与潜力。
引用
@article{arxiv.2312.00463,
title = {Low-rank-modified Galerkin methods for the Lyapunov equation},
author = {Kathryn Lund and Davide Palitta},
journal= {arXiv preprint arXiv:2312.00463},
year = {2024}
}