分段线性控制下线性系统的无损凸化

Lossless Convexification（LCvx）是一种凸化技术，将一类因控制范数下界而产生非凸的最优控制问题转化为等价凸问题，旨在应用快速的多项式时间求解器。然而，为实用求解这些无限维问题，必须首先转化为有限维问题，如何在离散化步骤中保持 LCvx 的理论保证仍是开放挑战。先前工作仅针对分段常数控制证明了保证，而这些方法无法推广至更贴近实际应用的分段线性控制。本文提出一种算法，将 LCvx 保证扩展至分段线性控制。在轻微假设下，我们算法可在至多 $2n_x + 2$ 条轨迹「边」上违反非凸约束。算法调用次数为 $O(\log(\Delta\rho/\varepsilon))$（其中 $n_x$ 为状态空间维数，$\Delta\rho = \rho_{\max} - \rho_{\min}$ 为控制范数上下界之差）。关键在于对控制范数下界进行扰动并添加控制速率约束，确保 LCvx 在轨迹边上成立。最后，我们给出数值结果表明该算法有效。