利用全纯 Peter-Weyl 定理构建具有非幺正表示的 Lorentz 自旋泡沫

在量子引力中，幺正演化并不像非相对论量子力学中从 Schr\"odinger 方程推导那样，从 Wheeler-DeWitt 动力学方程中得出。因此，我们可以基于 SL(2,C) 旋量有限非幺正表示定义一个自旋泡沫模型。最近发现的全纯 Peter-Weyl 定理 \cite{Huebschmann} 使得将非紧 Lorentz 群的 delta 函数分解为矩阵系数的收敛和成为可能。我们借助该定理计算了顶点振幅，并获得了该模型的简洁表达式。$SL(2,C)$ Hilbert 空间通过 Huebschmann-Kirillov 变换 \cite{Huebschmann} 由 $SU(2)$ Hilbert 空间定义。这一新变换比著名的 Hall 变换更简单，因为它不包含热核卷积。我们并未先验地设定 Barbero-Immirzi 常数 $\gamma$，而是将其作为对角和非对角简单性约束的解获得，即 $\gamma = \frac{-in}{(|n| + 2p)}$，其中 $p$ 为非负半整数。当 $p=0$ 时，该解对应于 Ashtekar 的自对偶联络。我们指出，当选择幺正表示时，Barbero-Immirzi 参数变为实数；而当表示为非幺正主系列或非幺正旋量表示时，它为复数。