新型协变圈量子引力表述的收敛$\tilde{Y}$-Map

新型自旋泡沫圈量子引力表述中最重要的部分是映射$Y$: $H^{SU(2)} \rightarrow H^{SL(2,C)}$。最近才证明，尽管经典的 Peter-Weyl 定理不适用于它（因为 Lorentz 群是非紧致的），但 Y-Map 是收敛的。在本文中，我们提供了一种替代映射$\tilde{Y}$。$\tilde{Y}$映射的优势在于保持了 Lorentz 协变性，而在 Y-Map 的情况下这种协变性会被破坏。新映射$\tilde{Y}$的像包含$SL(2,C)$矩阵系数的加权无穷和。该和是收敛的，其极限是$SL(2,C)$的平方可积函数，测度为$L^2(g, e^{-|Y|^2/\hbar}\eta(g) du \,dY )$，这符合全纯 Huebschmann-Peter-Weyl 定理，该定理适用于非酉群的有理表示，特别是非酉有限 Lorentz 表示。由于在 LQG 中幺正演化并非强制性的（因为它不从 Wheeler-DeWitt 动力学方程推导出来），因此选择非酉表示是有效的。正如原始 LQG 表述中所述：“在该理论中，传统幺正性没有任何必要性”。