量子力学中隐藏的Lorentz协变性

本文介绍了一种系统算法，用于在$\mathcal{L}^{2}(\mathcal{R}^{3},\frac{1}{r})$上导出Lorentz代数($so(1,3)$)的新酉表示以及扩展的(反)de Sitter代数($so(2,4)$)的不可约酉表示。该表示等价于$\mathcal{L}^{2}(\mathcal{R}^{3})$上的一个表示，并确定了相应的相似变换。给出了微分算子形式的显式表示，并证明了内积是Lorentz不变的。确保Lorentz协变性需要对Heisenberg代数进行修正，该代数被视为引力与量子领域交界处的相空间代数(IGQR)，我们认为它从属于Lorentz协变性。还证明了时间演化可以写成显式协变形式。Hilbert空间的每个质量扇区都承载着Lorentz代数的一个表示，并且每个质量扇区上的(反)de Sitter代数在平坦构型和动量空间极限下收缩为Poincaré代数。最后，我们展示了三维模糊空间也承载着这些代数的酉表示，在代数上等价于$\mathcal{L}^{2}(\mathcal{R}^{3},\frac{1}{r})$表示，但作为表示不一定等价。指出了几个有待未来探索的突出问题。