经典 Patlak-Keller-Segel 方程的长时间动力学

当空间维数 $n =2$ 时，众所周知，经典 Patlak-Keller-Segel 方程（简称 PKS 方程）的全局温和解存在当且仅当其初始总质量不处于超临界区间。然而，研究 $2$ 维 PKS 方程全局温和解的长时间行为通常要求初始数据满足自由能有限和二阶矩有限假设。本文引入一种新颖论证来推移并拉伸时空条带。借此，我们得到了在相似变量下表达的 PKS 方程的 $L^1$ 紧性。作为结果，我们在无额外假设下获得了亚临界区间中 2D PKS 方程的全局动力学。对于空间维数 $n \geq 3$ 的高维情形，我们也刻画了 PKS 方程全局温和解的长时间渐近性。在细胞密度总质量有限的假设下，只要存在一列趋于无穷的时间使得细胞密度的 $L^\infty$ 范数收敛到零，PKS 方程的任意全局温和解在时刻充分大时都将逼近一个自相似剖面。高维情形下的自相似剖面由函数 $M\mathcal{G}_n$ 给出，其中 $M$ 为细胞总质量，$\mathcal{G}_n$ 表示标准 $n$ 维高斯概率密度。我们还讨论了各维数下趋于自相似剖面的收敛速率。尤其在高维情形，若初始数据具有有限二阶矩，则对 $L^1$ 初始数据的一般收敛速率可得到改进。事实上，当时间充分大且 $n \geq 3$ 时，若初始密度具有有限二阶矩，我们以最优方式给出了 PKS 方程全局温和解的高阶近似。本文所研究的全部收敛速率均在 $p \in [1,\infty]$ 的 $L^p$ 范数下给出。