3D 可积性Navier-Stokes方程的长期行为

我们关注可积性Navier-Stokes方程在$\mathbb R^3$中的经典解的长期行为。我们的主要结果和创新可表述如下：在密度$\rho({\bf{x}}, t)$满足$\rho({\bf{x}},0)\geq c>0$且$\sup_{t\geq 0}\|\rho(\cdot,t)\|_{L^\infty}\leq M$的假设下，我们建立了解的优化衰减率。这大大改进了之前的结果(Arch. Ration. Mech. Anal. 234 (2019), 1167--1222)，该结果要求额外假设$\sup_{t\geq 0}\|\rho(\cdot,t)\|_{C^\alpha}\leq M$，其中$\alpha$可任意小。我们证明，只要初始密度包含真空且远场密度远离真空，真空状态即可持续任意时间，这将 torus 案例(obtained in SIAM J. Math. Anal. 55 (2023), 882--899)推广到整个空间。我们推导了以真空远场密度为解的衰减性质。这特别地给出了关于3D可积性Navier-Stokes方程在真空存在下的压力$L^\infty$-衰减率为$(1+t)^{-1}$的第一个结果。该证明的主要工具依赖于膨胀准则、密度的关键时不变正上下界，以及一种正则性插值技巧。