高维中大测度子集中的长线段

我们证明,对于任意满足$\text{Vol}(A)\ge 1/2$的集合$A\subseteq [0,1]^n$,存在一条直线$\ell$使得$\ell \cap A$的一维Lebesgue测度至少为$\Omega ( n^{1/4} )$。指数$1/4$是最优的。更一般地,对于$\mathbb R ^n$上的概率测度$\mu$和$0<a<1$,定义\begin{equation*} L(\mu ,a):= \inf_{A ; \mu(A) = a} \sup _{\ell \text{ line}} \big| \ell \cap A\big| \end{equation*}其中$|\cdot |$表示一维Lebesgue测度。我们研究了当$\mu$为乘积测度以及当$\mu$为$\ell _p$球上一致测度时$L(\mu ,a)$的渐近行为。我们观察到一大类乘积测度中相当统一的行为。另一方面,对于$1 \leq p \leq \infty$的$\ell_p$球,我们发现存在不同类型的相变。