Log-Sobolev 不等式：Ric 与 Hess 的不同作用

设 $P_t$ 为由 $L:=\Delta +\nabla V$ 生成的扩散半群，定义在完备连通黎曼流形上，满足 $\operatorname {Ric}\ge-(\sigma ^2\rho_o^2+c)$，其中 $\sigma, c>0$ 为常数，$\rho_o$ 为到固定点的黎曼距离。研究表明，若在某个紧集之外满足 $-\operatorname {Hess}_V\ge\delta$，其中常数 $\delta >(1+\sqrt{2})\sigma \sqrt{d-1}$，则 $P_t$ 具有超压缩性，或者说相关 Dirichlet 形式满足 log-Sobolev 不等式。这表明，至少在有限维情形下，$\operatorname {Ric}$ 与 $-\operatorname {Hess}_V$ 在 log-Sobolev 不等式成立中所起的作用截然不同。本文还研究了超压缩性和超压缩性。