针对粗糙签名核的 Log-PDE 方法
机器学习
2025-06-03 v2 偏微分方程分析
摘要
签名核，即路径签名的内积，是多元时间序列分析中多种机器学习算法的基础。对于有界变差路径，签名核最近被证明可求解 Goursat PDE。然而，现有的 PDE 求解器仅使用增量作为输入数据，导致一阶近似误差。对于高度振荡的输入路径，这些方法在计算上变得难以处理，因为必须以足够精细的尺度对其进行解析才能准确恢复其签名核，从而导致显著的时间和空间复杂度。本文将分析扩展到粗糙路径，并利用光滑粗糙路径框架证明，所得的粗糙签名核可由一个新的 PDE 系统近似，该系统的系数涉及输入粗糙路径的高阶迭代积分。我们证明该 PDE 系统存在唯一解，并建立了定量的误差界限，从而实现对粗糙签名核的高阶近似。
引用
@article{arxiv.2404.02926,
title = {Log-PDE Methods for Rough Signature Kernels},
author = {Maud Lemercier and Terry Lyons and Cristopher Salvi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.02926},
year = {2025}
}