签名核是Goursat偏微分方程的解
偏微分方程分析
2021-09-30 v9 机器学习
摘要
近来，针对序列数据学习的核方法开发兴趣渐增。签名核是一种具有处理不规则采样、多变量时间序列潜力的学习工具。在“Kernels for sequentially ordered data”中，作者引入了该核截断版本的核技巧，避免了直接计所带来的指数复杂度。此处我们证明，对于连续可微路径，签名核求解一个双曲PDE，并识别出其与文献中已知称为Goursat问题的微分方程类的联系。该Goursat PDE仅依赖于输入序列的增量，不需要显式计算签名，并且可使用最先进的双曲PDE数值求解器高效求解，给出了未截断签名核的核技巧，其原始复杂度与“Kernels for sequentially ordered data”中的方法相同，但优势在于PDE数值格式非常适合GPU并行化，这有效将输入序列长度的复杂度降低整整一个数量级。此外，我们将先前分析推广到几何粗糙路径空间，并利用粗糙路径理论的经典结果，确立签名核的粗糙版本求解一个类似于上述Goursat PDE的粗糙积分方程。最后，我们在处理序列数据的各种机器学习应用中实证展示了我们的PDE核作为机器学习工具的有效性。我们公开发布库sigkernel于https://github.com/crispitagorico/sigkernel。
引用
@article{arxiv.2006.14794,
title = {The Signature Kernel is the solution of a Goursat PDE},
author = {Cristopher Salvi and Thomas Cass and James Foster and Terry Lyons and Weixin Yang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2006.14794},
year = {2021}
}