局部共形 Hessian 流形与统计流形

统计流形 $\left(M,D,g\right)$ 是一个配备无挠联络 $D$ 与黎曼度量 $g$ 的流形 $M$，使得张量 $D g$ 完全对称。若 $D$ 平坦，则 $\left(M,g,D\right)$ 为 Hessian 流形。局部共形 Hessian（l.c.H）流形是 Hessian 流形 $(C,\nabla,g)$ 的商，其单值群通过 Hessian 相似变换作用于 $C$，即该作用保持 $\nabla$ 并将 $g$ 乘以一个群特征标。l.c.H. 秩是该特征标作为从单值群到实数函数之像的秩。若 Lee 向量场 $\xi$ 为 Killing 场且满足 $\nabla \xi =\lambda \Id$，则称 l.c.H. 流形为辐射的。我们证明 l.c.H. 秩为 1 的辐射 l.c.H. 度量集合在所有辐射 l.c.H. 度量集合中稠密。我们给出 l.c.H. 秩为 1 的紧致辐射 l.c.H. 流形的结构定理。此类流形 $C$ 均纤维化为圆上的纤维丛，纤维为常曲率统计流形，该纤维化局部平凡，且 $C$ 可由纤维上的统计结构与该纤维化诱导的单值自同构重构。