Ornstein-Uhlenbeck 粒子的局部时

本文研究 Ornstein-Uhlenbeck 粒子直至时刻 t 在某位置处所花费的局部时。利用 Feynman-Kac 形式体系，局部时的矩生成函数的计算可映射为求一个量子粒子的本征值与本征函数问题。我们采用量子微扰论按矩生成函数变量的幂次计算本征值与本征函数，这尤其有助于直接算出在不同位置所花局部时之间的累积量与关联。具体地，我们得到了在有吸收边界与无吸收边界（以存活为条件）情形下局部时的均值、方差与协方差的显式表达式。在无吸收边界时，我们还研究了局部时的大偏差并显式算出相关大偏差函数的精确渐近形式。论文第二部分，我们将 Ornstein-Uhlenbeck 粒子局部时的统计研究扩展至不以存活为条件的情形。此时，局部时的分布在大时间极限下预期达到平稳分布。此类平稳分布的计算在文献中被称为首达泛函问题。本文通过给出评估矩生成函数的一般表述，研究了随时间的平稳态趋近过程。由该矩生成函数，我们算出局部时的累积量，对自由粒子与 Ornstein-Uhlenbeck 粒子显式展示了向平稳值的趋近。我们的解析结果得到数值模拟的验证与支持。