Riemann 傅里叶级数的局部 $L^2$-正则性

我们关注稀疏傅里叶级数 $F_s(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{2i\pi n^2 x}}{n^s}$ 的收敛性与局部正则性。在 19 世纪 50 年代，Riemann 引入级数 $F_2$ 作为无处可微函数的一个可能示例，此后对该函数的研究引起了众多数学家的兴趣。我们聚焦于 $1/2<s\leq 1$ 的情形，并证明当 $x$ 满足 Diophantine 条件时 $F_s(x)$ 收敛。我们还研究了 $F_s$ 的 $L^2$-局部正则性，证明了 $F_s$ 在点 $x$ 附近的局部 $L^2$-范数根据不同的 $x$ 表现出不同的行为，这同样取决于 $x$ 的 Diophantine 条件。