Besov 空间中无电阻 MHD 方程的局部存在性

在本文中，我们证明了在整个 $\mathbb{R}^{n}$ ($n=2,3$) 上，对于某些 Besov 空间中的无散度初始数据（即 $\boldsymbol{u}_{0} \in B^{n/2-1}_{2,1}$ 和 $\boldsymbol{B}_{0} \in B^{n/2}_{2,1}$），粘性无电阻磁流体动力学 (MHD) 方程解的存在性。先验估计包括右侧的项 $\int_{0}^{t} \| \boldsymbol{u}(s) \|_{H^{n/2}}^{2} \, \mathrm{d} s$，因此需要在 $H^{n/2-1}$ 中的辅助界。在二维情况下，这只需使用标准能量不等式即可实现；但在三维情况下，需要 $H^{1/2}$ 中的辅助估计，我们利用 Calder\'on 的分裂方法 (Trans. Amer. Math. Soc. 318(1), 179--200, 1990) 证明了这一点。相比之下，我们证明了此类解在三维空间中是唯一的，但在二维空间中唯一性的证明更为困难，目前仍是开放问题。