关于平均曲率的双相自由边界问题的局部分析

我们考虑一个散度形式、具有分段常系数的双相椭圆算子的过定问题。我们寻找这样的区域：使得 Dirichlet 边值问题的解 $u$ 还满足附加性质，即其法向导数 $\partial_n u$ 在边界每一点上都是曲率半径的倍数。当系数满足某些“非临界性”条件时，我们采用依赖于形状导数和隐函数定理的扰动论证构造该过定问题的非平凡解。此外，在临界情形，我们利用 Crandall-Rabinowitz 定理证明存在从平凡解分岔出的对称性破缺解分支。最后，给出了关于单相情形及一类类似的 Serrin 型过定问题的若干注记。