Euler方程与Navier-Stokes方程的Liouville型定理

我们证明了Navier-Stokes方程和Euler方程的弱解的Liouville型定理。特别地，如果压力满足 $p\in L^1 (0,T; L^1 (\Bbb R^N))$ 且 $\int_{\Bbb R^N} p(x,t)dx \geq 0$，则相应的速度应为平凡的，即在 $\Bbb R^N \times (0,T)$ 上 $v=0$。特别地，当 $p\in L^1 (0,T; \mathcal{H}^1 (\Bbb R^N))$ 时，情况如此，其中 $\mathcal{H}^1 (\Bbb R^N)$ 是Hardy空间。另一方面，如果 $p\in L^1 (0,T; L^1 (\Bbb R^N))$ 且 $\int_{\Bbb R^N} p(x,t)dx <0$，则每个分量上的能量是均分的。类似的结果也适用于磁流体动力学方程。