相空间中从最大标定原理导出的刘维尔定理

非平衡统计力学（NESM）的基石之一是刘维尔定理，即相空间概率 $\rho(q,p; t)$ 的微分方程。这通常是通过或多或少启发式的论证，考虑物理系统（由原子组成）给定表面的流入或流出来推导的。在本工作中，我们推导刘维尔方程作为偏微分方程，其支配具有拉格朗日量 $L(q, \dot{q}; t)$ 的“粒子”在时间 $t$ 位于相空间中特定点 $(q, p)$ 的时变概率 $\rho(q, p; t)$ 的动力学，其中 $p=\partial L/\partial \dot{q}$。该推导仅依赖于对连续路径空间上的推断考量。由于其一般性，我们的结果不仅适用于“物理”系统，也适用于任何依赖于位置和速度约束信息的模型，例如时间序列。