Klein-Gordon 方程在 1+1 维中的 Liouville 现象

我们研究一空间维和一时间维的 Klein-Gordon 方程。从物理角度看，该方程描述的是具有正剩余质量的相对论自旋无费子的波函数。在数学角度，这是除波方程本身之外最基本的双曲型偏微分方程。相对于原点，时空根据光锥划分为四个四分之平面，其中两个为时向，剩余两个为空向。出乎意料的是，解在两种四分之平面中的行为截然不同。结果发现，空向四分之平面 exhibits Liouville 现象，即不足的增长迫使解表现出某种对称性，其中两条线性边上的值呈一一对应关系。这一现象具有与经典 Liouville 定理以及调和函数的 Phragmen-Lindelof 原理相似的特征。