三维退化椭圆方程齐次解的线性性

给定 $\mathbb{R}^3$ 中的线性椭圆方程 $\sum a_{ij} u_{ij} =0$，确定其一次齐次解 $u$ 是否为线性是一个经典问题。由 Martinez-Maure 的构造可知，一般而言答案是否定的。相反，在一致椭圆情形下，由 Han、Nadirashvili 和 Yuan 的定理可知答案是肯定的，并且已知一个公开问题：确定 $(a_{ij})$ 上使该定理仍成立的退化椭圆条件。本文解决了该问题。我们证明了在如下关于 $(a_{ij})$ 的退化椭圆条件下 $u$ 的线性性（由 Martinez-Maure 例子可知该条件是尖锐的）：若 $\mathcal{K}$ 表示 $(a_{ij})$ 的最大与最小特征值之比，我们假设 $\mathcal{K}|_{\mathcal{O}}$ 属于 $L_{\rm loc}^1$，其中 $\mathcal{O}\subset \mathbb{S}^2$ 为某个连通开集，其与 $\mathbb{S}^2$ 中任意四条长度为 $\pi$ 的两两不交闭测地弧的构型都相交。我们的结果也给出了使 Alexandrov、Koutroufiotis 和 Nirenberg 的一个旧猜想（被 Martinez-Maure 的例子所否定）成立的最可能尖锐的版本。