单调多边形与扇贝多边形中的视线追踪

我们研究在单连通多边形环境 $Q$ 中，追踪者 $P$ 与对抗性逃逸者 $E$ 之间的回合制博弈。双方在其回合内均可沿直线移动至单位距离内的任意点。追踪者 $P$ 通过捕获逃逸者获胜，即二者距离满足 $d(P, E) \leq 1$；逃逸者则通过永远躲避捕获获胜。双方均拥有环境地图，但具有不同的感知能力。逃逸者 $E$ 始终知晓 $P$ 的位置。而 $P$ 仅具有视线可见性：仅当连接二者的线段完全位于多边形内部时，$P$ 才能观测到逃逸者的位置。因此，当逃逸者处于视野之外时，$P$ 必须搜索 $E$。我们在两类多边形族中提供了 $P$ 的获胜策略：单调多边形与扇贝多边形。在这两类多边形族中，一条直线 $L$ 可在 $Q$ 上连续移动，使得 (1) $L \cap Q$ 为一条线段，且 (2) 边界 $\partial Q$ 上的每一点被精确扫过一次。这两类均为严格可扫描多边形的子族。单调多边形的扫描运动为单次平移，扇贝多边形的扫描运动为单次旋转。我们的算法在追踪阶段采用了车策略，而非著名的狮策略。车策略对于获得与 $Q$ 面积呈线性关系的捕获时间至关重要。对于单调多边形与扇贝多边形，我们算法的捕获时间均为 $O(n(Q) + \mbox{area}(Q))$，其中 $n(Q)$ 为多边形顶点数。