$d$ 维 Lévy 行走的极限定理：稀有涨落与体涨落
统计力学
2017-04-05 v1
摘要
我们考虑 维的超扩散 Lévy 行走，其中单步持续时间（即行走者进行的弹道运动）由具有无限方差和有限均值的幂律尾分布支配。我们证明，随机行走者坐标的概率密度函数（PDF）在大时间下具有两种不同的标度极限。一种极限描述了 PDF 的体部分。它是单维 Lévy 分布的 维推广，并且是有限离散随机行走的中心极限定理（CLT）的对应物。与单维 Lévy 分布和 CLT 不同，该分布不具有普适形状。无论时间多大，PDF 都反映了单步统计的各向异性。另一种标度极限，即所谓的“无限密度”，描述了 PDF 的尾部，该尾部决定了 PDF 的二阶（离散）矩和更高阶矩。此极限重现了单步中速度 PDF 的角度结构。行走的典型实现由异常扩散运动（由各向异性的 维 Lévy 分布描述）和长弹道飞行（由无限密度描述）交替组成。长飞行是稀有的，但由于它们，坐标增加得如此之多，以至于其贡献决定了离散。我们通过考虑两种类型的 Lévy 行走（具有各向同性和各向异性的速度分布）来说明这一概念。此外，我们证明，对于各向同性但其他方面任意的速度分布， 维过程可以约化为一维 Lévy 行走。
引用
@article{arxiv.1701.01957,
title = {Limit theorems for L\'evy walks in $d$ dimensions: rare and bulk fluctuations},
author = {Itzhak Fouxon and Sergey Denisov and Vasily Zaburdaev and Eli Barkai},
journal= {arXiv preprint arXiv:1701.01957},
year = {2017}
}