光线偏折与 Gauss-Bonnet 定理：总偏折角的定义及其应用

本文重新审视了 Schwarzschild 和 Schwarzschild-de Sitter 时空中的光线偏折。首先，假设一个静态球对称时空，我们通过在由光学度规 $\bar{g}_{ij}$ 确定的光学参考几何 ${\cal M}^{\rm opt}$ 上构造一个四边形 $\Sigma^4$，提出了光线总偏折角 $\alpha$ 的定义。基于总偏折角 $\alpha$ 的定义和 Gauss-Bonnet 定理，我们推导了两个计算总偏折角 $\alpha$ 的公式：(i) 角度公式，利用在光学参考几何 ${\cal M}^{\rm opt}$ 或作为恒定时间 $t$ 切片的弯曲 $(r, \phi)$ 子空间 ${\cal M}^{\rm sub}$ 上确定的四个角度；(ii) 光学参考几何 ${\cal M}^{\rm opt}$ 上的积分公式，它是四边形 $\Sigma^4$ 区域内 Gaussian 曲率 $K$ 的面积分和沿曲线 $C_{\Gamma}$ 的测地曲率 $\kappa_g$ 的线积分。作为曲线 $C_{\Gamma}$，我们引入了未受扰动的参考线，它是背景时空（如 Minkowski 或 de Sitter 时空）上的零测地线 $\Gamma$，并通过将 $\Gamma$ 垂直投影到弯曲 $(r, \phi)$ 子空间 ${\cal M}^{\rm sub}$ 上得到。我们证明，对于 Schwarzschild 和 Schwarzschild--de Sitter 时空，这两个公式给出相同的总偏折角 $\alpha$。特别地，在 Schwarzschild 情况下，当光源 $S$ 和接收者 $R$ 位于无穷远时，结果与 Epstein--Shapiro 公式一致。此外，在 Schwarzschild--de Sitter 情况下，除了类 Schwarzschild 部分外，还出现了 ${\cal O}(\Lambda m)$ 阶项，而 ${\cal O}(\Lambda)$ 阶项消失。