具有非利普希茨奇点的常微分方程中的“死后重生”

我们考虑一类d维常微分方程，其在原点处具有非利普希茨（non-Lipschitz）奇点。此类系统的解整体存在且唯一，直至首次到达原点的时刻$t = t_b$，我们称之为“爆破”（blowup）。然而，在更晚时刻可能存在无穷多个解。为研究越过爆破后的延拓，我们引入物理动机驱动的正则化：在原点周围ν-球内光滑化向量场，随后在极限$\nu\to 0$下移除正则化。我们证明该极限可通过一种由解依赖的重整化过程得到的自治动力系统来理解。此过程将爆破前动力学（$t < t_b$）映射至在无穷重整化时刻结束的解。特别地，$t \nearrow t_b$时的渐近行为由一个吸引子描述。爆破后动力学（$t > t_b$）被映射至一个从无穷久远过去出发的不同重整化解。因此，它与另一吸引子相关联。ν-正则化建立了重整化系统这两个不同“生命”之间的关系。我们证明，在某些一般情形下，该过程选取唯一全局解（或一族解），且不依赖于正则化的细节。我们给出具体示例，并指出这些情况与无限维湍流模型中观测到的爆破后情景在定性上相似。