变形辫排列的区域层级

本文主要研究$\mathbb{R}^n$中辫排列$\mathcal{B}_n$的一种特定变形，记为$\mathcal{B}_n^A$，定义见(1.2)。设$r_l(\mathcal{B}_n^A)$为$\mathcal{B}_n^A$中第$l$层区域的数量，对应的指数生成函数记为$R_l(A;x)$。利用Hetyei引入的加权有向图模型，我们在$\mathcal{B}_n^A$中第$l$层区域与顶点集$[n]$上恰好具有$l$个强连通分量的有效$m$-无环加权有向图之间建立了双射。基于此双射，我们获得了类似于二项式型多项式序列的性质，即$R_l(A;x)$满足关系$R_l(A;x)=\big(R_1(A;x)\big)^l=R_k(A;x)R_{l-k}(A;x)$。此外，$r_l(\mathcal{B}_n^A)$的值为特征多项式$\chi_{\mathcal{B}_n^A}(t)$在基元素$\binom{t}{l}$下展开的系数提供了组合解释，即$\chi_{\mathcal{B}_n^A}(t)=\sum_{l=0}^n(-1)^{n-l}r_l(\mathcal{B}_n^A)\binom{t}{l}$。若$n$、$a$和$b$为非负整数且$n\ge 2$、$b-a\ge n-1$，对于(1.3)中定义的变形$\mathcal{B}_n^{[-a,b]}$，当$n$为奇数时其特征多项式具有一个单重实根$0$；当$n$为偶数时具有另一个单重实根$\frac{n(a+b+1)}{2}$。