有限域中 BRK 类集合的类比

在 $\mathbb{R}^n$ 中的 Besicovitch-Rado-Kinney（BRK）集合包含每个半径的球面。在 $\mathbb{F}_q^n$ 中，BRK 类型集合的度为 $\ell$ 时，等价地包含由固定次数为 $\ell$ 的齐次多项式确定的 $(n-1)$ 维表面的族。我们定义次数为 $\ell$ 的 $(n,d)$ -BRK 类型集合，包含由 $(n-d)$ 维扩张因子参数化的 $d$ 维集合的族，这些集合由固定次数为 $\ell$ 的齐次多项式决定。我们使用多项式方法获得 $(n,d)$ -BRK 类型集合 $S$ 的下界 $|S| \gtrsim_{n, \ell} q^n$。通过实现多重性方法，我们获得改进的下界 $|S| \geq \frac{(q-1)^n}{((\ell + 1 - 2\ell/q)^n)}$，该下界与 Trainor 对次数为 $\ell$ 的 BRK 类型集合所得到的下界相同，且我们独立于 $d$ 获得此下界。