通用超曲面的低次子簇

我们研究通用超曲面 $\mathcal{X}/B$ 上次数为 $d$、维数为 $n$ 的不可约子簇。我们证明，当 $d$ 充分大时，一个支配 $B$ 的 $kd$ 次子簇 $Z$ 来自于与一族由 $B$ 参数化的 $k$ 次射影簇的交。这回答了 Farb 和 Ma 独立提出的问题。我们的主要工具包括 Riedl 和 Yang 的格拉斯曼簇技术、Mumford-Roitman 关于零圈有理等价的定理，以及在伽罗瓦作用存在的情况下对 Cayley-Bacharach 条件的分析。我们还表明，大次数假设是必要的；当 $d=3$ 时，有理点在 $\text{Sym}^d X_{k(B)}$ 中稠密，特别是不共线。