亚纯函数的等值线构型与共形等价

设 $f=B_1/B_2$ 为两个有限 Blaschke 乘积之比，且在 $\partial\mathbb{D}$ 上无临界点。则 $f$ 在圆盘内仅有有限条临界等值线（包含 $f$ 的临界点的等值线），而非临界等值线在临界等值线之间平滑插值。因此，要理解 $f$ 的所有等值线的几何性质，只需理解其有限条临界等值线即可。本文证明，事实上此类函数 $f$ 不仅由临界等值线的构型在几何上确定，而且在共形意义上也被唯一确定。即，若 $f_1$ 和 $f_2$ 具有相同的临界等值线构型，则存在一个共形映射 $\phi$ 使得 $f_1\equiv f_2\circ\phi$。随后我们证明，任何可能源自解析函数的临界等值线构型均可由一个多项式实现。我们还利用等值线给出了 B\^{o}cher 定理（Gauss--Lucas 定理向有理函数的推广）的一个新证明。