紧致平坦流形的长度谱与 p-谱

我们研究紧致平坦黎曼流形的闭测地线的长度谱、弱长度谱与复长度谱，将长度等谱性与作用在 p-形式上的拉普拉斯算子的等谱性进行比较。利用 Krawtchouk 多项式的整根，我们给出许多对 p-等谱平坦流形，其闭测地线长度不同，并且在某些情况下，单射半径与第一个特征值也不同。我们证明了一个联系 p-特征值谱与闭测地线长度的泊松求和公式。作为推论，我们表明该谱决定闭测地线的长度，并且通过一个例子表明它不决定复长度。此外我们证明可定向性是平坦流形的可听性质。我们给出多种例子，例如，一对具有相同长度谱不同的等谱（相应为 Sunada 等谱）流形，以及一对具有相同复长度谱且对任意 p 都不 p-等谱、或者对唯一一个异于 0 的 p 值才 p-等谱的流形。