学习精确通量：具有硬约束的神经黎曼求解器

Godunov型方法通过单元界面处的局部黎曼问题获取数值通量，是计算流体动力学中最基本且广泛使用的数值方法之一。精确黎曼求解器忠实求解底层方程，但由于通常需要的迭代根查找过程，计算代价可能很高。因此，大多数实际计算依赖于经典的近似黎曼求解器，如Rusanov和Roe，它们以精度换取计算速度。神经网络最近作为近似精确黎曼求解器的替代方案显示出前景，但大多数现有方法要么是数据驱动的，要么施加弱约束。这可能导致在集成到Godunov型方案时出现平衡态保持问题、对称性破缺和守恒误差。为解决这些问题，我们提出了一种具有硬约束的神经黎曼求解器(HCNRS)，并施加了五个约束：正性、一致性、镜像对称性、伽利略不变性和缩放不变性。在标准基准问题上对浅水方程和理想气体欧拉方程进行了数值实验。在没有硬约束的情况下，观察到对平衡态保持性质、质量守恒和对称性的违反。特别地，在欧拉内爆问题中，精确黎曼求解器结合MUSCL-Hancock能够很好地捕捉射流结构，而Rusanov通量过于扩散并将其模糊化。HCNRS准确地再现了精确黎曼求解器获得的解。相比之下，无约束神经公式缺乏镜像对称性，这使得解依赖于通量法向方向的选择。结果，射流要么发生偏移要么丢失，同时对角对称性也丢失了。