随机矩阵的分数对数律

我们证明了 Paquette-Zeitouni 对分数对数律（LFL）[arXiv:1505.05627] 在极端特征值上的完全一般化，从而验证了该论文中的一个猜想。我们的结果适用于任何 Wigner 微过程及其两种对称性类别，特别是针对 GOE 微过程；而 [arXiv:1505.05627] 以及 Baslingker 等人[arXiv:2410.11836] 的最新完全解决仅覆盖 GUE 情形，该情形为决定性。由于缺乏与高斯情形的直接比较， 我们发展了一种稳健且自然的方法，用于证明这两个关键部分。一方面，我们依赖一种强大的鞅技巧，精确描述最大特征值（大小为 $N\times N$ 的 Wigner 矩阵）与其 $(N-k)\times (N-k)$ 子矩阵之间的强相关性（当 $k\ll N^{2/3}$ 时）。另一方面，我们使用动力学方法表明，这种相关性在 $k\gg N^{2/3}$ 时较弱。