分数计算变分的欧拉-拉格range 与 Legendre 必要条件

本文研究的是在满足一定约束条件下，依据阶数$0< \alpha \leq 1$的 Caputo 分数导数和阶数 $\beta >0$的 Riemann-Liouville 分数积分的函数的最小化问题。证明了分数类 Du Bois-Reymond 引理的分数类形式。利用该引理对于各种弱局部最小问题，推导出以积分形式的 Euler-Lagrange 方程。一些严重的文献工作声称在经典情形 $\alpha=1$下欧拉-拉格range 条件的标准证明无法适用于分数情形 $0<\alpha <1$且带有终点约束的情况。尽管如此，我们使用标准的经典方法证明了 Legendre 条件。所获得的必要条件通过适当的例子加以说明。