分数计算变分法的韦ierstrass必要条件

本文研究的函数在固定端点处，依赖于阶数为 $0<\alpha \leq 1$ 的分数 Caputo 导数以及阶数为 $\beta > 0$ 的分数 Riemann-Liouville 积分的最小化问题。证明了分数类 Du Bois-Reymond 引理的分数类版本，并给出固定端点情况下最简分数变分计算的 Euler-Lagrange 条件以及分数等温问题的条件。提出一种获取强极小与弱极小的必要一阶条件的方法，并得到必要的最优条件。从这些必要条件可得韦ierstrass 条件及其局部改型。值得注意的是，尽管一些文献声称在经典情形 $\alpha=1$ 下 Legendre 条件的标准证明无法适用于分数情形 $0< \alpha <1$ 且带有终端约束的情况，但我们仍据韦ierstrass 条件，通过标准经典方法证明了 Legendre 条件。此外，还得到韦ierstrass-Erdmann 边际点的必要条件。本文提供了示例，以阐明所获得主要结果的重要性。