分数阶变分问题的等周问题与 Weierstrass 必要条件

{Summary] 在本文中，我们研究在固定端点处依赖于分数阶 Caputo 导数（阶数 $0<\alpha \leq 1$）和分数阶 Riemann-Liouville 积分（阶数 $\beta > 0$）的泛函最小化问题。我们证明了分数阶 Du Bois-Reymond 引理，并证明了最简单的问题——具有固定端点的分数阶变分问题和分数阶等周问题的 Euler-Lagrange 条件。提出了一种获得强极值和弱极值必要一阶条件的方法，并获得了必要最优性条件。从这些必要条件出发，作为推论，我们获得了 Weierstrass 条件及其局部修正。应指出，文献中一些论文声称经典情形 $\alpha=1$ 的标准 Legendre 条件证明无法适应具有终端约束的分数阶情形 $0< \alpha <1$。尽管如此，我们通过 Weierstrass 条件的标准经典方法证明了 Legendre 条件。此外，我们还在角点处获得了必要的 Weierstrass-Erdmann 条件。提供了示例以说明所获得的主要结果的意义。