格点多面体、$\SL(n,\C)$ 中的有限阿贝尔子群与编码理论

我们考虑 $d$ 维格点多面体 $\Delta$，其 $h^*$-多项式为 $h^*_\Delta=1+h_k^*t^k$，其中 $1<k<(d+1)/2$，并将它们与 $\SL_{d+1}(\C)$ 中阶为 $1+h_k^*=p^r$ 的某些阿贝尔子群联系起来，这里 $p$ 是素数。这些子群可以通过编码理论作为 $\F_p^{d+1}$ 中的特殊线性常重码进行研究。若 $p =2$，则利用 Bonisoli 定理可获得这些码及相应格点多面体的分类。若 $p > 2$，分类这些线性码的主要技术工具是与奇特征标 $\chi:\F_q^*\to\C^*$ 相关的广义 Bernoulli 数 $B_{1,\chi}^{(r)}$ 的非零定理，其中 $q=p^r$。我们的结果意味着对所有 $h^*$-多项式为二项式的格点多面体进行了完全分类。