局部 $h$-多项式、细分不变量与混合 Ehrhart 理论

来自枚举组合学与 Ehrhart 理论的多面体及格点多面体存在自然的多项式不变量，即分别为 $h$-多项式和 $h^*$-多项式。在本文中，我们研究了它们向多面体细分及格点细分的推广。通过抽象混合 Hodge 理论中的构造，我们引入了可特化为 $h$-多项式和 $h^*$-多项式的多变量多项式。这些多项式，即混合 $h$-多项式和（ refined）极限混合 $h^*$-多项式，具有丰富的对称性、非负性和单峰性性质，既细化了经典多项式的已知性质，又揭示了新的结构。例如，我们证明了一个称为局部 $h^*$-多项式的相关不变量的下界定理。我们通过发展一种研究 Euler 偏序集细分的非常通用的形式体系来引入我们的多项式，该体系扩展了 Stanley、Brenti 和 Athanasiadis 关于局部 $h$-向量的工作。特别是，我们证明了 Nill 和 Schepers 的一个猜想，并回答了 Athanasiadis 提出的一个问题。