截断赋范 Riesz 空间单位化上的格范数

截断 Riesz 空间最初由 Fremlin 在实值函数背景下引入。Ball 给出了该概念的一个恰当公理化。仅保留 Ball 的第一公理（三条之中）作为截断 Riesz 空间的定义，第一作者与 El Adeb 证明了若 $E$ 为截断 Riesz 空间，则 $E\oplus\mathbb{R}$ 可赋予一个非标准的 Riesz 空间结构，使得 $E$ 成为 $E\oplus\mathbb{R}$ 的 Riesz 子空间，且 $E$ 的截断由与 $1$ 取交给出。本文中，我们假设截断 Riesz 空间 $E$ 具有格范数 $\left\Vert .\right\Vert$，并给出 $E\oplus\mathbb{R}$ 具有延拓 $\left\Vert .\right\Vert$ 的格范数的充要条件。此外，我们证明在此条件下，$E\oplus\mathbb{R}$ 上所有延拓 $\left\Vert .\right\Vert$ 的格范数之集本质上有一个最大元 $\left\Vert .\right\Vert _{1}$ 与最小元 $\left\Vert .\right\Vert _{0}$。并且，任意其他的 $E\oplus\mathbb{R}$ 上的格范数要么等价于 $\left\Vert .\right\Vert _{1}$，要么等于 $\left\Vert .\right\Vert _{0}$。作为推论，我们证明 $E\oplus\mathbb{R}$ 是 Banach 格当且仅当 $E$ 是 Banach 格，并得到一个由著名的 Kakutani 表示定理所支撑的表示定理。