$\mathbb{Z}^d$ 中离散超曲面的大子集包含任意多个共线点

1977 年，L.T. Ramsey 证明了 $\mathbb{Z}^2$ 中任何具有有界间隙的序列都包含任意多个共线点。此后，C. Pomerance 于 1980 年提供了该结果的密度版本，将序列的条件从具有有界间隙放宽为平均有界间隙。我们给出了这些结果的高维推广。我们的主要定理如下：定理：设 $d\in\mathbb{N}$，设 $f:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{Z}^{d+1}$ 为 Lipschitz 映射，设 $A\subset\mathbb{Z}^d$ 具有正的上 Banach 密度。那么 $f(A)$ 包含任意多个共线点。注意，Pomerance 的定理对应于 $d=1$ 的特殊情况。在我们的证明中，我们将问题从离散环境转移到连续环境，从而能够利用 Rademacher 定理等分析和测度论工具。