多项式增长 Borel 图的大尺度几何

我们从渐近几何与描述集合论的角度研究多项式增长的图。我们研究的起点是 Krauthgamer 与 Lee 的一个定理：他们证明每个连通的多项式增长图都容许到 $(\mathbb Z^n, \|\cdot\|_\infty)$（对某 $n\in\mathbb N$）的一个单射压缩映射。我们以多种方式加强并推广该结果。特别地，我们回答了 Papasoglu 的一个问题，构造了从多项式增长图到 $\mathbb Z^n$ 的粗嵌入。此外，我们仅要求 $n$ 关于图的渐近多项式增长率是线性的；这以“渐近意义下”确认了 Levin 与 Linial、London、Rabinovich 的一个猜想（该猜想的精确形式已被 Krauthgamer 与 Lee 反驳）。我们所有结果均为 Borel 图而证，这使我们能解决描述组合论中的若干问题。粗略地说，我们证明由 $\mathbb Z^n$ 的自由 Borel 作用生成的图，对于多项式增长的 Borel 图类而言是通用的。这提供了一个将关于 $\mathbb Z^n$-作用的结果推广到所有多项式增长 Borel 图的一般方法。例如，我们主结果的一个直接推论是所有多项式增长 Borel 图都是超有限的，这回答了该领域一个著名问题。作为另一说明，我们展示多项式增长 Borel 图支持一种称为 toast 的组合结构。我们论证中的一个重要技术工具是来自计算机科学的填充分解概念，它与 Gromov 提出的渐近维数概念密切相关。在此过程中，我们找到了 Papasoglu 一个定理的另一种概率性证明：渐近多项式增长率 $\rho<\infty$ 的图具有至多 $\rho$ 的渐近维数，并在 Borel 情形下建立了同一界。