被动与主动粒子凸包统计中的大偏差：一项理论研究

我们解析研究了不同类型平面随机游走凸包面积A与周长L的分布尾部。对于持续时间为T的N个非相互作用布朗运动，我们发现大L与A尾部表现为 $\mathcal{P}\left(L\right)\sim e^{-b_{N}L^{2}/DT}$ 与 $\mathcal{P}\left(A\right)\sim e^{-c_{N}A/DT}$，而小L与A尾部表现为 $\mathcal{P}\left(L\right)\sim e^{-d_{N}DT/L^{2}}$ 与 $\mathcal{P}\left(A\right)\sim e^{-e_{N}DT/A}$，其中 $D$ 为扩散系数。我们精确计算了所有系数($b_N, c_N, d_N, e_N$)。引人注目的是，我们发现对于 $N\geq 3$ 与 $N \geq 4$ 分别有 $b_N$ 与 $c_N$ 与N无关。我们发现大L(A)尾部由达到所需L(A)的单一最概然实现主导；左尾部由粒子在适当尺寸圆内生存概率主导。对于主动粒子且在长时间下，我们发现大L与A尾部由 $\mathcal{P}\left(L\right)\sim e^{-T\Psi_{N}^{\text{per}}\left(L/T\right)}$ 与 $\mathcal{P}\left(A\right)\sim e^{-T\Psi_{N}^{\text{area}}\left(\sqrt{A}/T\right)}$ 分别给出。我们精确计算了大偏差函数 $\Psi_N$ 并发现其呈现多重奇点，我们将其解释为一级动力学相变。我们将若干结果推广至维度 $d>2$。我们的解析预测与现有大量数值模拟结果高度吻合。