极值关联构型中的大团

设 $P \subset \mathbb{R}^{2}$ 为一个 Katz-Tao $(\delta,s)$-集，$\mathcal{L}$ 为 $\mathbb{R}^{2}$ 中直线的 Katz-Tao $(\delta,t)$-集。Fu 和 Ren 最近的结果给出了关联集 $\mathcal{I}(P,\mathcal{L}) = \{(p,\ell) \in P \times \mathcal{L} : p \in \ell\}$ 的 $\delta$-覆盖数的尖锐上界。事实上，对于 $s,t \in (0,1]$，有 $$|\mathcal{I}(P,\mathcal{L})|_{\delta} \lesssim_{\epsilon} \delta^{-\epsilon -f(s,t)}, \qquad \epsilon > 0,$$ 其中 $f(s,t) = (s^{2} + st + t^{2})/(s + t)$。对于 $s,t \in (0,1]$，我们刻画了该不等式的近极值构型 $P \times \mathcal{L}$：我们证明，若 $|\mathcal{I}(P,\mathcal{L})|_{\delta} \approx \delta^{-f(s,t)}$，则 $P \times \mathcal{L}$ 包含满足 $|\mathcal{I}(P',\mathcal{L}')|_{\delta} \approx |P'|_{\delta}|\mathcal{L}'|_{\delta}$ 的“团”$P' \times \mathcal{L}'$，且 $$|P'|_{\delta} \approx \delta^{-s^{2}/(s + t)} \quad \text{and} \quad |\mathcal{L}'|_{\delta} \approx \delta^{-t^{2}/(s + t)}.$$