有向网络与马尔可夫链的拉普拉斯与双拉普拉斯方程

本（主要但非 exclusively 为综述性的）汇编中的网络是强连通的有限有向图 $X$，其中每条有向边 $(x,y)$ 配备一个正权重（电导）$a(x,y)$。我们不假设该函数的对称性，且一般而言不要求与 $(x,y)$ 同时存在的 $(y,x)$ 也是一条边。这些权重产生一个差分算子，其归一化版本被我们视为拉普拉斯算子。它关联于一个状态空间为 $X$ 的马尔可夫链。指定 $X$ 的一个非空子集作为边界。我们系统阐述不同类型的拉普拉斯方程，从泊松方程、狄利克雷问题和诺伊曼问题开始。对于后者，我们讨论外法向导数的定义。随后我们转向含势的拉普拉斯方程，从而也处理罗宾边界问题。接下来，我们研究双拉普拉斯算子及相关方程：迭代泊松方程、双拉普拉斯诺伊曼与狄利克雷问题，以及“板方程”。结果表明双拉普拉斯 Dirichlet-to-Neumann 映射具有非平凡的意义。本阐述以两个详细例子作结。