图与网络上的双拉普拉斯算子

我们研究微分算子 $A=\frac{d^4}{dx^4}$ 在连通网络 $\mathcal{G}$ 上的作用，以及 $\mathcal L^2$（作用于连通离散图 $\mathsf{G}$ 的离散拉普拉斯算子的平方）的作用。对这两个算子，我们分别讨论在 $L^p(\mathcal{G})$ 或 $\ell^p(\mathsf{V})$（$1\leq p\leq\infty$）上相关线性抛物问题的适定性：$$\frac{\partial u}{\partial t}=-Au,\qquad\frac{df}{dt}=-\mathcal L^2 f.$$ 鉴于众所周知当 $N>1$ 时所有 $2N$ 阶椭圆微分算子均缺乏抛物极大值原理，我们最令人惊讶的发现是：在经过某个瞬态时间后，由 $-A$ 驱动的抛物方程可能展现出马尔可夫性质，这取决于在顶点处施加的传输条件。对于一般区域乃至有界区间，类似结果似乎未知。我们的分析基于对双调和函数的详细研究并辅以简单的组合论证。我们阐述了离散双拉普拉斯算子的类似问题；并给出了用由 $-\mathcal L^2$ 生成的半群的马尔可夫性质来刻画完全图的结果。