Lamperti 型定律

本文探讨了定义为两个独立正随机变量之比的随机变量的各种分布方面，其中一个变量服从 $0<\alpha<1$ 的 $\alpha$-稳定律，另一个变量的定律由将 $\alpha$-稳定随机变量的密度以因子 $\theta>-\alpha$ 进行多项式倾斜而定义。当 $\theta=0$ 时，这些变量等同于 Lamperti [Trans. Amer. Math. Soc. 88 (1958) 380--387] 研究的比率，值得注意的是，该比率被证明具有简单的密度。该变量出现在各个领域，并因与稳定律的紧密联系而变得重要。这一理由及其与 $\operatorname {PD}(\alpha,\theta)$ 分布的联系，激发了对其推广（我们称之为 Lamperti 型定律）的研究。我们识别并利用了在多种应用中常见的随机变量之间的联系，即 Linnik、广义 Pareto 和 $z$-分布。在每种情况下，我们都获得了具有潜在兴趣的新结果。作为一些亮点，我们随后利用这些结果：(i) 获得一类广义 Mittag--Leffler 函数的积分表示和其他恒等式；(ii) 显式识别稳定连续状态分支过程 (CSBP) 半群的 L\'{e}vy 密度，从而识别 Slack 以及 Zolotarev [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 9 (1968) 139--145, Teor. Veroyatn. Primen. 2 (1957) 256--266] 导出的相应极限分布，这些分布与 Berestycki, Berestycki 和 Schweinsberg 以及 Bertoin 和 LeGall [Ann. Inst. H. Poincar\'{e} Probab. Statist. 44 (2008) 214--238, Illinois J. Math. 50 (2006) 147--181] 关于 Beta 合并的最新工作有关。(iii) 我们获得了广义 Bessel 桥占用时间的显式结果，以及 $\operatorname {PD}(\alpha,\theta)$-桥的一些有趣的随机方程。特别是，我们获得了维数为 $2-2\alpha$ 的 Bessel 桥正占用时间密度的最佳已知结果。