对称 $\alpha$-稳定 Lévy 分布在 $q>1$ 情形下的推广

由 Lévy 引入的 $\alpha$-稳定分布在概率论理论研究及其在统计物理、生命科学和经济学等领域的各种应用中发挥着重要作用。本文研究了一类分布具有渐近幂律衰减的长程依赖随机变量序列，称为 $(q,\alpha)$-稳定分布。这些序列是独立同分布 $\alpha$-稳定分布的推广，此前尚未被研究过。长程依赖的 $(q,\alpha)$-稳定分布可能出现在非广延统计力学、细胞生物学和金融学中反常过程的描述中。参数 $q$ 控制依赖程度。若 $q=1$，则它们退化为具有 $\alpha$-稳定 Lévy 分布的经典独立同分布情形。本文建立了 $(q,\alpha)$-稳定分布的基本性质，并将 Umarov、Tsallis 和 Steinberg (2008) 的结果（其中考虑了 $\alpha=2, q\in[1,3)$ 的特例）推广到稳定性和非广延性参数的整个范围，即分别对应 $\alpha \in (0,2]$ 和 $q \in [1,3)$。我们还讨论了所得结果可能的进一步推广，并提出了一些猜想。