附于拉马努金 tau 函数的 Mazur--Tate 元素的 Lambda 不变量及与 Eisenstein 级数的同余

令 $p\in\{3,5,7\}$，并令 $\Delta$ 表示由拉马努金 tau 函数出现的权十二模形式。我们证明对于显式选取的 $k$ 与狄利克雷特征 $\chi$、$\psi$，$\Delta$ 模 $p$ 同余于 Eisenstein 级数 $E_{k,\chi, \psi}$。随后我们证明描述附于 $\Delta$ 的 Mazur--Tate 元素的 Iwasawa 不变量的公式，证实了作者此前工作中收集的数值数据。