次临界 p-拉普拉斯方程含 Carathéodory 非线性项的 $L^\infty$ 先验估计

我们给出了有界域上一大类次临界 $p$-拉普拉斯方程弱解的新的 $L^\infty$ 先验估计。无需对解的符号及非线性项的符号作任何假设。该方法基于 $p$-拉普拉斯的椭圆正则性，结合 Gagliardo-Nirenberg 或 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 插值不等式。考虑拟线性边值问题 $-\Delta_p u= f(x,u),$ 于 $\Omega$ 中，具 Dirichlet 边界条件，其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$，且 $p<N,$ 为严格凸的有界光滑域，$f$ 为次临界 Carathéodory 非线性项。我们给出弱解的 $L^\infty$ 先验估计，以其 $L^{p^*}$-范数表示，其中 $p^*= \frac{Np}{N-p}\$ 为临界 Sobolev 指数。所谓次临界非线性项，例如指 $|f(x,s)|\le |x|^{-\mu}\, \tilde{f}(s),$ 其中 $\mu\in(0,p),$ 且 $\tilde{f}(s)/|s|^{p_{\mu}^*-1}\to 0$ 当 $|s|\to \infty$，此处 $p^*_{\mu}:=\frac{p(N-\mu)}{N-p}$ 为临界 Sobolev-Hardy 指数。我们的非线性项包含非幂次非线性项。特别地，我们证明当 $f(x,s)=|x|^{-\mu}\,\frac{|s|^{p^*_{\mu}-2}s}{\big[\log(e+|s|)\big]^\alpha}\,,$ 其中 $\mu\in[1,p),$ 则对任意 $\varepsilon>0$ 存在常数 $C_\varepsilon>0$ 使得对任意解 $u\in H^1_0(\Omega)$ 成立 $$\Big[\log\big(e+\|u\|_{\infty}\big)\Big]^\alpha\le C_\varepsilon \, \Big(1+\|u\|_{p^*}\Big)^{\, (p^*_{\mu}-p)(1+\varepsilon)}\, ,$$ 其中 $C_\varepsilon$ 与解 $u$ 无关。