Kostant 生成函数、Ebeling 定理与 McKay 关于 Poincaré 级数的观察

我们将 B. Kostant 的生成函数构造推广到多重边图的情形，并对该情形证明 W. Ebeling 连接 Poincaré 级数 [P_G(t)]_0 与 Coxeter 变换的定理。依据 W. Ebeling 定理 [P_G(t)]_0 = \frac{X(t^2)}{\tilde{X}(t^2)}，其中 X 为 Coxeter 变换的特征多项式，$\tilde{X}$ 为相应仿射 Coxeter 变换的特征多项式。我们证明 McKay 关于 Poincaré 级数 [P_G(t)]_i 的观察：$(t+t^{-1})[P_G(t)]_i = \sum\limits_{i \leftarrow j}[P_G(t)]_j$，其中 j 取遍所有与 i 相邻的顶点。