与 $\mathbb{P}^2\times \mathbb{P}^2$-纤维化相关的素 $\mathbb{Q}$-Fano 三维流形的关键簇。第一部分

我们构造一个具有 $\rm{GL}_3$-作用与 $(\mathbb{C}^*)^6$-作用的 $14$ 维仿射簇 $\Sigma^{14}_{\mathbb{A}}$。我们将通过令一个指定变量为 $1$ 而从 $\Sigma^{14}_{\mathbb{A}}$ 得到的仿射簇记为 $\Sigma^{13}_{\mathbb{A}}$（精确定义参见论文定义 1.1）。我们证明，$\Sigma^{13}_{\mathbb{A}}$ 与 $\Sigma^{14}_{\mathbb{A}}$ 的若干加权射影化作为加权完全交，给出了分次环数据库中属于 $24$ 个类的余维数为四的素 $\mathbb{Q}$-Fano 三维流形的例子。除数据库中编号 360 外，这些素 $\mathbb{Q}$-Fano 三维流形具有 I 型 Tom 投影。此外，它们不是 Coughlan 与 Ducat 引入的 $C_2$ 型簇变种（cluster variety）的加权完全交。我们还证明 $\Sigma^{14}_{\mathbb{A}}$ 的一个部分射影化在仿射空间 $\mathbb{A}^9$ 上有一个 $\mathbb{P}^2\times \mathbb{P}^2$-纤维化。